Relativiteit ( Essay )

Over de Speciale en de Algemene relativiteitstheorie l

Voorwoord

Als kind was ik verslingerd aan de boekjes van Bert Benson. Op latere leeftijd kwamen er nog veel meer sciencefiction schrijvers bij zoals Isaac Asimov, Arthur C. Clarke, Robbert Heinlein, Douglas Adams en Frank Herbert. In veel van deze avontuurlijke verhalen werd regelmatig gerefereerd aan de relativiteitstheorie van Albert Einstein . Ik wilde natuurlijk graag weten wat deze bijzondere theorie precies inhoudt. Gelukkig had mijn Opa een populairwetenschappelijk boekje over dit onderwerp in zijn boekenkast. Ik begreep destijds niet alles maar wat wel duidelijk was dat het een fascinerende theorie is vol ogenschijnlijke tegenstellingen. Treinen die opeens korter worden als ze rijden en klokken die op Aarde langzamer lopen dan daarbuiten! Reden genoeg om me er verder in te verdiepen. Nu hoop ik genoeg over de relativiteitstheorie te weten om een samenvatting te geven over dit tot de verbeelding sprekende onderwerp.

Veel leesplezier!

Bas van den Brink

Maart 2016

 

1        Inhoud

 

Voorwoord.

1       Inhoud.

2       Inleiding.

3       Historisch overzicht.

3.1        Inleiding.

3.2        Krachten en beweging.

3.2.1         De oudheid.

3.2.2         De renaissance.

3.2.3         De verlichting.

3.3        Licht.

3.3.1         Vroege theorieën.

3.3.2         Elektromagnetisme.

4       De speciale relativiteitstheorie.

4.1        Inleiding.

4.2        De basisstellingen.

4.3        Gelijktijdigheid.

4.4        Tijd.

4.5        Ruimte.

4.6        De ruimte-tijd van Minkowski.

4.7        Rotatie.

4.8        Massa en energie.

5       De algemene relativiteitstheorie.

5.1        Inleiding.

5.2        Zwaartekracht.

5.2.1         Tensoren.

5.3        Bewijzen voor de algemene relativiteitstheorie.

5.4        Zwarte gaten.

5.4.1         De Penrose machine.

5.4.2         Hawking straling.

5.4.3         Gravitatiegolven.

5.5        Het universum.

5.5.1         De gravitatie rond hemellichamen.

5.5.2         Geschiedenis en toekomst van het Heelal.

6       Albert Einstein.

6.1        Inleiding.

6.2        Levensloop.

 

2        Inleiding

De speciale en de algemene relativiteitstheorieën beschrijven het gedrag van ruimte en tijd bij respectievelijk hoge snelheden en in zwaartekrachtvelden. In de wereld om ons heen is er een verband tussen krachten, beweging, ruimte en tijd. Krachten beïnvloeden bewegingen en bewegingen spelen zich op hun beurt af in de ruimte en de tijd. Albert Einstein gooide met zijn speciale relativiteitstheorie van 1905 al deze begrippen overhoop en postuleerde een totaal andere visie op al deze begrippen. Hierbij werden alle heilige huisjes van de klassieke natuurkunde omver geworpen. Het resultaat was een aanzienlijk logischer theorie die een veel elegantere verklaring bood voor een groot aantal verschijnselen uit de natuurkunde.

Tien jaar later verscheen de algemene relativiteitstheorie. Deze gaf een volledig andere kijk op zwaartekracht dan de klassieke theorie van Isaac Newton. De kosmologische en filosofische gevolgen van de theorie zijn niet te onderschatten. Opeens was er een sluitende theorie over de opbouw en het beginpunt van het complete Universum.

De relativiteitstheorieën kunnen het beste worden begrepen als ze in een historisch kader worden geplaatst. Daarom wordt in het eerste deel de aanloop naar de relativiteitstheorie besproken, vanaf de oude Grieken tot en met de natuurkundigen van de 19de eeuw. Eerst wordt de geschiedenis van de kijk op krachten en beweging (de mechanica) behandeld waarna wordt ingegaan op de visie op licht (de optica) door de eeuwen heen. Daarna volgt een vrij uitgebreide bespreking van de speciale relativiteitstheorie en de gevolgen hiervan. Daarna wordt de algemene relativiteitstheorie besproken. Ten slotte is een beknopte biografie van Albert Einstein opgenomen.

De limericks zijn afkomstig uit Coleman (1959).

 

3        Historisch overzicht

3.1      Inleiding

In de afgelopen eeuwen zijn de verklaringen van fysische verschijnselen dramatisch veranderd. In de oudheid was de moderne wetenschappelijke methode nog niet uitgevonden. In plaats van objectieve waarnemingen, experimenten en voorspellende theorieën vertrouwden de natuurfilosofen van het oude Griekenland alleen op de rede. Hun kijk op de Wereld was erg dogmatisch wat leidde tot de meest vreemde gevolgtrekkingen over het begrip beweging.

In de renaissance werd aarzelend een stap gezet naar een objectievere waarneming van bewegingen en krachten. Grote geniën als Gallileo Gallilei, Isaac Newton en Christiaan Huygens ontwikkelden de klassieke mechanica. Tot de 19de eeuw werd deze als onverwoestbaar geacht totdat nauwkeurige experimenten enkele afwijkende resultaten aangaven. Omstreeks die tijd begonnen natuurkundigen zich ook te interesseren voor de eigenschappen van licht. Hoe meer ze over dit natuurverschijnsel wisten hoe vreemder de eigenschappen bleken te zijn. Uiteindelijk bleek dat optica en mechanica veel met elkaar te maken hebben.

3.2      Krachten en beweging

3.2.1        De oudheid

In de oudheid geloofde men dat beweging werd veroorzaakt door een goddelijke inbreng of dat het domweg een illusie was, slechts ontsproten uit de fantasie van de mens. Griekse filosofen gebruikten slechts de rede om de wereld om hun heen te verklaren, zonder gebruik te maken van objectieve waarnemingen of experimenten. Op die manier kregen ze nogal wat paradoxen bij het beschrijven van bewegingen.

Een beroemde paradox is die van Achilles en de schildpad.

Stel dat Achilles en een schildpad een hardloopwedstrijd houden. De schildpad krijgt nu een voorsprong van x meter . Stel voor het gemak dat Achilles twee keer zo snel loopt als de schildpad. Als Achilles op de oorspronkelijke plek van de schildpad is aangekomen dan is het beest al een afstand van x/2 meter verder gekomen. Als Achilles op die plek is aangeland is de schildpad weer x/4 meter verder gekomen. Dit procedé kan tot het oneindige herhaald worden. Achilles kan de schildpad volgens deze gedachtegang nooit inhalen. De oplossing van deze paradox is dat de afstand tussen Achilles en de schildpad steeds kleiner wordt. Op een gegeven moment nadert de afstand tot nul. De schildpad staat dan even stil zodat Achilles het kan inhalen. De vroege Griekse filosofen hadden nog geen kennis van dit soort reeksontwikkelingen en deden alle beweging daarom simpelweg af als een illusie.

Aristoteles

De eerste Griekse filosoof die beweging beschouwde als een mechanisch proces was de Macedoniër Aristoteles (484 – 322). Toch hechtte hij ook veel waarde aan de rede en had niet de visie en de middelen om zijn redenaties te toetsen door middel van experimenten. Hij maakte onderscheid tussen bezielde en onbezielde beweging. In zijn visie kon een beweging alleen in stand worden gehouden als er een kracht op bleef werken. Zodra de kracht weg is stopt de beweging. Als bijvoorbeeld een bal weggegooid wordt dan zal, als de bal de hand verlaat deze verder geduwd worden door kleine, onzichtbare handjes. Als de handjes uitgeput zijn stort de bal recht naar beneden.

Het feit dat voorwerpen naar beneden vallen wordt door Aristoteles op de volgende manier verklaard:

Volgens hem streefden alle vier elementen, aarde , water, vuur en lucht, naar hun natuurlijke toestand. Vuur en lucht zijn lichte elementen. Hun natuurlijke toestand is boven dus zullen deze elementen stijgen. Denk bijvoorbeeld aan rook uit een schoorsteen. Aarde en water zijn zware elementen zodat hun natuurlijke toestand beneden is. Objecten die vooral uit deze elementen bestaan zullen dus naar beneden vallen.

De snelheid waarmee een voorwerp naar beneden valt, is volgens Aristoteles afhankelijk van de dichtheid van het medium en de massa van het voorwerp. Hoe dichter het medium hoe langzamer het voorwerp zal vallen. In een vacuüm zal het voorwerp oneindig snel vallen wat zou bewijzen dat een vacuüm niet kan bestaan. Als er wel een medium aanwezig is zoals lucht of water volgt uit voorafgaande beschouwing dat zware voorwerpen sneller naar beneden zullen vallen dan lichte en dat hun snelheid gedurende de val niet verandert.

Uit de voorgaande beschouwing kon Aristoteles de volgende formule afleiden:

F / d = k v

Hierin is F de zwaartekracht, d de dichtheid van het medium, k een constante en v de snelheid van het vallende voorwerp.

Volgens de grote Atheense filosoof Plato worden de hemellichamen voortbewogen door geesten. Aristoteles vond dit een nogal kortzichtige benadering. Hij geloofde in een immateriële eeuwige beweger die de hemellichamen voortduwt . Volgens hem waren kosmische verschijnselen fundamenteel anders dan die op Aarde. Hij plaatste de Aarde in het middelpunt van het Universum waar de hemellichamen in aparte sferen omheen draaien. Elk hemellichaam heeft zijn eigen sfeer.

3.2.2       De renaissance

Door interne conflicten en de overheersing door de Romeinen viel het machtige Griekse rijk uiteen. Hierdoor raakten de belangrijke Griekse scholen in verval. Vooral in de middeleeuwen werden de wetten van Aristoteles door de oppermachtige kerk klakkeloos voor waar aangenomen. Dit conservatieve en dogmatische wereldbeeld begon haarscheurtjes te vertonen toen in Italië de renaissance begon. Door de herontdekking van Griekse teksten bleek opeens dat er nog andere manieren waren om de wereld te beschouwen dan het Christendom. Eén van de meest briljante personen uit die periode was de wis- en natuurkundige Gallileo Galilei (1564- 1642) Hij was de eerste die openlijk kritiek leverde op de theorieën van Aristoteles en ontketende een ware wetenschappelijke revolutie vanwege zijn gebruik van experimenten om het gedrag van objecten te bepalen. Om de valsnelheid van voorwerpen te kunnen bepalen had Galilei het probleem dat ze in normale situaties zo snel naar beneden vallen dat het onmogelijk is om er zinvolle metingen aan te verrichten. Daarom verzon hij een manier om de zwaartekracht te vertragen. Hij gebruikte hiervoor een schuine plank. Op de plank bevonden zich een aantal ribbeltjes op steeds dezelfde afstand van elkaar. Galilei liet een groot aantal verschillende voorwerpen van de plank af glijden. Als de voorwerpen een ribbeltje raakte gaf dit een scherpe tik. Galilei was bijzonder muzikaal zodat hij door goed te luisteren naar de tikken de snelheid van de voorwerpen kon bepalen. Na veelvuldig experimenteren kwam hij tot de volgende baanbrekende conclusies:

  1. Voorwerpen vallen niet met een constante snelheid, maar versneld naar beneden;
  2. De valsnelheid is onafhankelijk van de massa van het voorwerp.
  3. Lichte voorwerpen vallen even snel als zware indien er geen rekening wordt gehouden met de luchtweerstand

Uit deze conclusies volgt nu dat zwaartekracht leidt tot een versnelling en niet tot een constante snelheid zoals Aristoteles dacht. Zodra de kracht weg is komt het voorwerp niet tot rust maar blijft het met een constante snelheid in een rechte lijn voortbewegen. Dit fenomeen staat bekent als de traagheidswet. In formulevorm krijgen we dan:

F = k a

Hierbij is F opnieuw de zwaartekracht, k een constante en a de versnelling van het voorwerp.

De relativiteitstheorie van Galilei

Een zeer belangrijk inzicht van Galilei is dat er geen absolute snelheid bestaat. Met andere woorden, snelheid is relatief. Dit kan het beste uitgelegd worden met een voorbeeld.

Stel dat een reiziger in een trein zit die op een lange rechte spoorlijn rijdt met een constante snelheid v. Een persoon die langs de kant staat ziet de trein voorbij rijden met dezelfde snelheid v. De reiziger in de trein kan met hetzelfde recht zeggen dat hij stil staat en dat de persoon aan de kant beweegt maar dan met een snelheid van -v. Het is absoluut niet te zeggen wie beweegt en wie stil staat.

Een meer abstracte beschrijving van dit gedachtenexperiment gaat als volgt:

Stel dat de spoorlijn verbonden is met een assenstelsel S met coördinaten x, y en z. De trein is op zijn beurt verbonden met assenstelsel S’ met coördinaten x’, y’ en z’ . De x-assen lopen parallel aan de spoorlijn. We gaan er van uit dat de tijd op de spoorlijn en in de trein even snel loopt.

Als er een bepaalde tijd t verstreken is krijgen we:

x’ = x – v t

y’ = y

z’ = z

t’ = t

Deze set formules staat tegenwoordig bekend als de Galileitransformatie. Zij vormen de basis voor de volledige klassieke mechanica. Aan het einde van de 19de eeuw zou blijken dat de Galileitransformatie geen correcte beschrijving van de werkelijkheid is. Deze afwijking zal later in dit essay uitgebreid besproken worden.

Het heliocentrisme

Gallileo Galilei was een dappere man. Hij durfde lijnrecht in te gaan tegen de gevestigde orde. Volgens de Katholieke kerk stond de Aarde in het middelpunt van het zonnestelsel. De theorie was dat God de mensheid naar zijn evenbeeld had geschapen. Daarom was het logisch om de mensheid in het middelpunt van alles te plaatsen. Bovendien was er in een geocentrisch model genoeg ruimte voor de hel en de hemel. De Inquisitie keek daarom met argusogen naar de afwijkende mening van Galilei die door zijn waarnemingen met zijn telescoop er van overtuigd raakte dat de Zon het middelpunt van het Zonnestelsel is en dat de planeten, inclusief de aarde, hierom heen cirkelden. De Inquisitie liet Galilei een tijdlang zijn gang gaan maar uiteindelijk werd hij toch berecht. Galilei werd gedwongen om zijn ketterse theorieën te herroepen en hij kreeg huisarrest voor de rest van zijn leven.

3.2.3       De verlichting

Na Galilei kwam het onderzoek naar de mechanica goed op gang. De Franse filosoof en wiskundige René Descartes (1596 – 1650) ontwikkelde, samen met de Nederlandse natuurkundige Christiaan Huygens (1629 – 1695) De wet van behoud van impuls. Impuls is een natuurkundige grootheid en is een maat voor de hoeveelheid beweging van een voorwerp. De impuls wordt gedefinieerd als het product van de massa en de snelheid. In formulevorm:

p = m v

Omdat de impuls zowel een waarde als een richting heeft is het een vector.

De wet van behoud van impuls stelt nu dat de totale impuls in een gesloten systeem altijd constant is. Als een biljardbal bijvoorbeeld tegen een andere botst zal de tweede bal gaan bewegen, terwijl de eerste bal vrijwel stil komt te liggen. Als beide bewegingen bij elkaar opgeteld worden is de totale impuls precies gelijk aan de beginsituatie.

De bewegingswetten van Newton

Toen de middeleeuwen ten einde liepen werd het heliocentrisme algemeen aanvaard als de meest logische verklaring voor het gedrag van de hemellichamen. De Duitse wiskundige Johannes Kepler (1571 – 1630) toonde door zijn interpretatie van de waarnemingen van Tycho Brahé (1546 – 1601) aan dat de planeten in ellipsen rond de zon bewegen in plaats van cirkels. Hij kon echter niet bewijzen waarom dit zo was. De beroemde Britse fysicus Isaac Newton (1643 – 1727) leverde een zeer elegante oplossing voor het probleem. Hij beschouwde het Zonnestelsel als een soort uurwerk dat met grote gelijkmatigheid loopt. Voor zijn bewijs maakte hij veelvuldig gebruik van de ontdekkingen van Gallileo Galilei. Hij toonde aan dat elke massa, zowel op Aarde als daarbuiten dezelfde kracht ondergaat die met oneindige snelheid op massa’s werkt. Newton toonde aan dat de zwaartekracht onevenredig is met het kwadraat van de onderlinge afstand en evenredig met het product van de massa’s. Dit alles levert de volgende universele zwaartekrachtsformule van Newton op:

Fz = G * ( m1 *m2 ) / r^2

R is dan de onderlinge afstand tussen twee massa’s m1 en m2, en G is de gravitatieconstante met een waarde van 6,6×1011 . Na de voltooiing van zijn zwaartekrachtstheorie begon Newton, aangemoedigd door Edmond Halley (1656 – 1742) aan een diepgravend onderzoek op het gebied van de mechanica. Dit leidde tot het standaardwerk Philisophiea Naturalis Principia Mathematica, kortweg de Principia. De kern van dit (volstrekt onleesbare) boek vormen de drie hoofdwetten van de mechanica:

  1. Een voorwerp beweegt zich met constante snelheid en in een rechte lijn voort als er geen kracht op werkt;
  2. Een kracht verandert de impuls met de tijd;
  3. Elke kracht geeft een even grote, maar tegengestelde reactiekracht.

De eerste wet is in feite al door Galilei ontdekt. Newton wist hem echter in een breder kader te plaatsen. Toch is deze eerste wet eigenlijk overbodig omdat hij direct volgt uit de tweede wet. Voor de duidelijkheid wordt hij wel als een aparte wet opgenomen.

De tweede wet kan eenvoudig worden weergegeven in de volgende formule:

F = δp / δt

Als aangenomen wordt dat de massa van het voorwerp niet verandert, kan de vorige vergelijking ook beschreven worden in de meer bekende vorm:

F = m a

A is de versnelling die geleverd wordt door de kracht F. Deze formule bewijst dat het moeite (kracht) kost om een object van snelheid of richting te veranderen. Natuurkundigen spreken dan van de traagheid van een voorwerp, in tegenstelling tot de zwaarte van een voorwerp die veroorzaakt wordt door de zwaartekracht. De traagheid zorgt er voor dat massa’s moeilijk te verplaatsen zijn terwijl de zwaarte van een massa aan een massa trekt. We herinneren ons dat Galilei had aangetoond dat lichte voorwerpen even snel vallen als lichte. Zware en trage massa’s heffen elkaar dus precies op. Deze vreemde toevalligheid werd eeuwen later verklaard door de algemene relativiteitstheorie.

De derde wet van Newton levert onder andere de basis voor alle raketten. De brandstof levert een kracht naar achteren. Door de reactiekracht gaat de raket precies de andere kant op.

3.3      Licht

3.3.1       Vroege theorieën

Naast de mechanica is de optica een belangrijk onderdeel van de natuurkunde. In de 17de eeuw was er een levendige discussie tussen Isaac Newton en Christiaan Huygens. Vanwege zijn experimenten met prisma’s beweerde Newton dat lichtstralen bestaan uit een groot aantal zeer kleine lichtdeeltjes. Huygens toonde aan dat licht interferentie kan vertonen wat een overtuigend bewijs is dat licht een golfverschijnsel moet zijn. Interferentie is een verschijnsel waarbij twee golven die asynchroon lopen een karakteristiek patroon vormen. Als twee toppen van de twee golven toevallig samenvallen zal de uitwijking twee keer zo groot worden. Als een piek van de ene golf samenvalt met een dal van de andere golf heffen beide golven elkaar op en is de totale uitwijking op die plaats nul. Later breidde Augustin Jean Fresnel (17788 – 1827) de onderzoeken van Huygens verder uit. Daarna werd licht algemeen beschouwd als een golfverschijnsel. In 1999 bewees Max Planck (1858 – 1947) dat de visies van Newton en Huygens allebei een kern van waarheid hadden. Hij toonde door onderzoek aan de temperatuur afhankelijkheid van lichtspectra aan dat licht bestaat uit een hoeveelheid golfpakketjes, fotonen genaamd. Deze ontdekking was het begin van de kwantummechanica. Dit onderwerp valt buiten het kader van dit essay.

3.3.2       Elektromagnetisme

Michael Faraday (1791 – 1867) voerde een aantal baanbrekende experimenten uit met magnetische en elektrische velden. Op die manier ontwikkelde hij de dynamo en de elektromotor. Maar hoewel hij een briljante experimentator was, was Faraday niet in staat om een sluitende theorie te vinden voor zijn bevindingen. Dit hiaat werd opgelost door de geniale Schotse theoretisch fysicus James Clerk Maxwell (1831 – 1897). Hij postuleerde met behulp van de metingen van Faraday vier vergelijkingen die het verband aangaven tussen elektriciteit, magnetisme en licht. Uit deze vergelijkingen bleek dat licht een elektromagnetische golf is, net als radiogolven, infraroodstralen, uv-stralen, röntgenstralen en gammastralen. Licht bestaat dus uit een golvend magnetisch veld met loodrecht daarop een golvend elektrisch veld. Gebruikmakend van zijn vergelijkingen was Maxwell in staat om de lichtsnelheid te berekenen. Het resultaat is een snelheid van c=300 000 km/s.

Maxwell nam aan dat elektromagnetische straling een medium nodig heeft om zich voort te planten. Deze aparte vorm van materie noemde hij ether (niet te verwarren met de vluchtige vloeistof met dezelfde naam). Het was logisch om aan te nemen dat de ether altijd in rust is, waardoor het kon fungeren als referentiepunt voor elke mogelijke beweging. Alle bewegende lichamen bewegen zich dan door de ether. Hierdoor voelen de bewegende objecten een zogenaamde etherwind. Om deze etherwind te meten ontwikkelden Albert Michelson (1852 – 1931) en Edward Morley (1838 – 1923) een vernuftig experiment. In het verlengde van de beweging van de Aarde om de Zon plaatste ze een spiegel. Loodrecht op de aardbaan plaatste ze een tweede spiegel. In het snijvlak van beide spiegels werd een half doorlaatbare spiegel geplaatst onder een hoek van 45 °. Deze spiegel laat 50% van het licht tegen en laat 50% doorgaan. Onder de half doorlaatbare spiegel zat een detector. Met behulp van een prisma aan het begin van de opstelling werd gezorgd dat slechts 1 kleur (golflengte) werd binnengelaten. Het invallende licht werd door de half doorlaatbare spiegel gesplitst. Een deel bereikte de eerste spiegel en een ander deel de andere. De recht doorgaande lichtstraal bereikte de eerste spiegel. Na terugkaatsing bereikte deze opnieuw de half doorlaatbare spiegel waarbij de straal opnieuw werd gesplitst. Een deel ging richtdoor, de opstelling uit, maar een ander deel bereikte de detector. Hetzelfde gebeurde met de lichtstraal die de tweede spiegel bereikte. Aangenomen werd dat de Zon in rust is. Daarom zal de Aarde, met daarop de opstelling, het zonlicht als het ware inhalen. De lichtstraal naar de eerste spiegel legt dan een iets langere weg af dan die naar de tweede spiegel. Hierdoor zijn beide lichtstralen enigszins verschoven ten opzichte van elkaar. Hierdoor ontstaat bij de detector een interferentiepatroon. Tot grote verbazing van de beide experimentatoren gaf de detector geen enkel interferentiepatroon te zien. Een mogelijke verklaring voor dit vreemde resultaat was om aan te nemen dat de Aarde in absolute rust is ten opzichte van de Ether. Een dergelijke voorkeuspositie voor de Aarde leek echter erg onwaarschijnlijk. Een aantal vooraanstaande theoretici zochten daarom naar een alternatieve oplossing voor het probleem.

interferometer

Een mogelijke oplossing was de aanname dat de opstelling verkort werd in de richting van de aardbaan. Deze contractie, voorgesteld door George FitzGerald (1851 – 1901), zou de afwijking precies opheffen. Het leek nogal vreemd dat een lichaam korter wordt als het beweegt. Toch bleek dit de beste verklaring voor het fenomeen. De grote Nederlandse natuurkundige Hendrik Lorentz (1853 – 1928) bewees dat de interferometer dermate verkort zou moeten worden dat de ether onmogelijk kon worden gemeten. Ook bewees hij dat niet alleen de lengte korter werd, maar dat ook de tijd langzamer moest gaan lopen. Al deze veronderstellingen staan tegenwoordig bekend als de Lorentztransformatie. Dit is een veralgemenisering van de Galilei transformatie uit het vorige hoofdstuk. De afhankelijkheid tussen twee coördinatenstelsels wordt nu:

x’ = γ (x – v t)

y’ = y

z’ = z

t’ = γ ( t – v x / c^2 )

Met hierin :

γ = 1 / √  (1 – ( v / c ) ^2 )

De γ (gamma) is de operator die zorgt voor de verkorting van het object en de vertraging van de tijd. De formules van de lorentztransformatie zijn nogal tegen intuïtief. Dit komt bijvoorbeeld tot uitdrukking door onderstaande limerick:

Een schermer, bepaald niet stijf

Was akelig lenig van lijf

Zo snel was zijn actie

Dat de Lorentzcontractie

Zijn degen verkortte tot schijf.

 

De vergelijkingen van de lorentztransformatie waren nogal ad hoc verkregen. Desalniettemin bleken de vergelijkingen toch betrouwbare resultaten op te leveren. Het was echter niet duidelijk waarom de formules zo goed werkten. De natuurkunde stond behoorlijk op losse schroeven. De tijd was rijp voor een genie om al deze schroeven te vervangen door nieuwe en betere. De naam van dit genie was Albert Einstein (1879 – 1955). Hij wist door alle oude ideeën over ruimte en tijd overboord te zetten een zeer elegant bewijs te leveren voor de Lorentztransformatie. Deze theorie staat tegenwoordig bekent als de speciale relativiteitstheorie. Dit is het onderwerp van het volgende hoofdstuk.

4        De speciale relativiteitstheorie

4.1      Inleiding

De speciale relativiteitstheorie verscheen voor het eerst in het wetenschappelijk tijdschrift Annalen der Physik van 1905 onder de titel Elektrodynamik bewegter Körper (over de elektrodynamiek van bewegende lichamen). Dit baanbrekende artikel gaf een volledig nieuwe kijk op beweging, ruimte en tijd. De theorie beschrijft het gedrag van klokken en linialen bij lichamen die zich met een constante snelheid rechtlijnig voortbewegen. Einstein ging hiervoor uit van twee basisstellingen die het fundament zijn voor de volledige relativiteitstheorie. Daarom worden ze hieronder vrij uitgebreid besproken.

4.2      De basisstellingen

De basis voor de speciale relativiteitstheorie vormen twee postulaten:

  1. Er is geen absolute snelheid.;
  2. De lichtsnelheid is constant voor elke waarnemer, ongeacht zijn snelheid.

De eerste stelling betekent dat het onmogelijk is om te zeggen wie beweegt en wie stil staat. Bij een rechtlijnige beweging met een constante snelheid gelden voor elke waarnemer dezelfde natuurwetten. Het is niet mogelijk om met een meetlat en een klok te bepalen wie beweegt en wie in rust is. Dit is het relativiteitsprincipe van Einstein. Het is een veralgemenisering van het relativiteitsprincipe van Galilei.

De tweede stelling lijkt vrij triviaal maar schijn bedriegt. De vreemdheid van het postulaat kan het beste worden uitgelegd met het volgende gedachtenexperiment.

Stel dat een pistool een kogel afschiet met een snelheid van 500 km/uur. Als een waarnemer met een snelheid van 300 km/uur in de baan van de kogel beweegt en de snelheid bepaalt krijgt hij een waarde van 500-300=200 km/uur. Als de waarnemer sneller dan 500 km/uur beweegt kan hij de kogel inhalen. De snelheid van de kogel wordt dan voor de waarnemer zelfs negatief.

Nu verandert het pistool in een laser. Deze zend een lichtstraal uit met een snelheid van c=300 000 km/seconde. Als de waarnemer nu met een snelheid van 200 000 km/s langs de lichtstraal beweegt en de snelheid vanuit zijn standpunt opnieuw meet verwacht hij een waarde te krijgen van 300 000-200 000=100 000 km/s is. Maar de lichtsnelheid is voor elke waarnemer constant. De waarnemer zal een snelheid meten van 300 000 km/s.

Deze paradox kan alleen opgelost worden als aangenomen wordt dat ruimte en tijd geen absolute waarde hebben maar flexibele verschijnselen zijn die afhangen van de snelheid van een lichaam. Deze variatie geeft aanleiding tot een herdefinitie van het begrip gelijktijdigheid. Dit wordt uitgelegd in de volgende paragraaf.

4.3      Gelijktijdigheid

Albert Einstein hield van treinen. Tijdens lange ritten kon hij heel goed nadenken over complexe natuurkundige problemen. Daarom gebruikte hij in zijn uitleg over de relativiteitstheorie dit vervoersmiddel geregeld. Daarom zullen rijdende treinen vanaf nu steeds als voorbeeld dienen.

In eerste instantie wordt een stilstaande trein beschouwd. In het midden van een wagon bevindt zich een persoon A. Naast de trein staat een waarnemer B die door het raam naar binnen kan kijken en zien wat A doet. Nu werpt A twee tennisballen met snelheid x naar voren en naar achteren. De ballen kaatsen tegen de wanden van de wagon en komen tegelijk terug bij A. B ziet nu exact hetzelfde gebeuren. Ook bereiken de ballen volgens hem tegelijk de wanden van de wagon en bereiken tegelijkertijd weer A.

Nu zet de trein zich in beweging en bereikt na een poosje een snelheid yY. Het voorgaande experiment wordt nu herhaald. A werpt opnieuw twee tennisballen en hij merkt net als bij het vorige experiment dat de ballen tegelijk weer bij hem terugkomen. A merkt geen enkel verschil met de situatie van de stilstaande trein. Voor B is de situatie nu wat gecompliceerder. Als hij de snelheid van de vooruitgaande bal meet krijgt hij een snelheid van v = y + x . Als hij de snelheid van de achterwaartse bal meet krijgt hij juist een snelheid van v = y – x . Toch ziet hij de ballen net als A tegelijk de wanden van de wagon bereiken maar dan verschoven met een afstand van x = y t .

Nu worden alle bovengenoemde experimenten herhaald maar dan met lichtstralen. In een stilstaande trein schiet A nu met twee lampen naar allebei de kanten van de wagon. De lichtstralen weerkaatsen tegen de wanden van de wagon en komen tegelijk weer bij A aan. De waarnemer B staat opnieuw buiten de trein en meet de tijdstippen van de weerkaatsing en de terugkeer bij A. Hij komt tot dezelfde resultaten als A. Tot zover is er geen verschil met het tennisbalexperiment.

Nu gaat de trein rijden, opnieuw met een snelheid y. A voert zijn experiment met zijn lampen weer uit en merkt geen enkel verschil ten opzichte van het geval van de stilstaande trein. B merkt nu wel een fundamenteel verschil. Hij verwacht nu voor de voorwaartse lichtstraal een snelheid van v = y + c en in achterwaartse richting een snelheid van v = y – c. Dit is echter niet mogelijk omdat de lichtsnelheid voor elke waarnemer dezelfde waarde heeft. Dit is slechts mogelijk als gezien door B de voortgaande lichtstraal de voorste wand van de wagon op een later tijdstip bereikt dan gezien door A. De achterwaartse lichtstraal bereikt de achterste wand daarentegen volgens B juist op een eerder tijdstip dan gemeten door A. A zal de twee lichtstralen tegelijk de beide wanden zien bereiken maar voor B bereiken de lichtstralen de beide wanden juist op een verschillend tijdstip. Hoe sneller de trein rijdt hoe groter het verschil is. Gelijktijdigheid is dus een relatief begrip dat afhankelijk is van de relatieve snelheid van de waarnemer. 

4.4      Tijd

Op analoge manier kunnen we ook aantonen dat de tijd voor A anders loopt dan voor B. Hiervoor wordt het voorgaande experiment enigszins aangepast. In plaats van in de lengterichting werpt A nu zijn tennisballen naar de zijwanden van de trein. Als de trein stil staat ziet A de ballen tegelijk de zijkanten bereiken. B zal nu dezelfde resultaten meten als A. In het geval van de rijdende trein merkt A geen enkel verschil. Voor B is de zaak nu wat gecompliceerder. Als hij nu de snelheid van de ballen wil weten moet hij de snelheid van de trein en die van de ballen vectorieel bij elkaar optellen. Met behulp van de stelling van Pythagoras krijgt hij dan een snelheid van:

v = √ ( x^2 + y^2 )

Nu wordt het experiment opnieuw herhaald met twee lampen.. Vanwege de constante lichtsnelheid kunnen de snelheid van het licht en die van de trein nu voor B niet meer zo maar vectorieel bij elkaar opgeteld worden zoals bij de tennisballen. Het licht moet immers voor B een langere weg afleggen dan gezien door A. Dit is alleen mogelijk als de tijd voor A langzamer loopt dan voor B. In een bewegend voorwerp loopt de tijd dus langzamer . Hoe sneller het voorwerp beweegt, hoe trager het verloop van de tijd. Als het sneller dan de lichtsnelheid zou bewegen gaat het terug in de tijd.          Dit komt het beste tot zijn recht in de volgende limerick:

Een snel meisje uit Tricht

Kon lopen , sneller dan het licht

Ze postte een brief

Uiteraard relatief

En toen ze thuis kwam plakte ze hem dicht.

4.5      Ruimte

Met behulp van het voorgaande is aan te tonen dat ook de lengte van de trein variabel is. Hiervoor worden aan begin en eind van de wagon twee mensen C en D geplaatst. Zodra zij een lichtflits van A ontvangen werpen ze een baken op het spoor. B kan dan de lengte van de wagon bepalen door de afstand tussen de bakens te meten.

Bij een stilstaande trein zal B dezelfde lengte meten als A. Nu het geval van een bewegende trein. Uit het voorgaande blijkt dat gezien door B de lichtstraal C op een eerder tijdstip bereikt dan gezien door A. D ontvangt de flits daarentegen volgens B iets later. Als B nu de afstand tussen de bakens meet constateert hij dat de afstand kleiner is geworden. De trein is gekrompen! Hoe hoger de snelheid van de trein, hoe korter hij wordt.

Als de vertraging van de tijd en de verkorting van de ruimte wordt berekend blijkt dat de resulterende formules exact overeenkomen met die van de lorentztransformatie. Voor de liefhebber is de afleiding te vinden in Einstein (1997) en in Wikipedia. Met enige middelbare school wiskunde is hij goed te volgen.

Wederkerigheid

De relativistische effecten op de tijd en de ruimte zijn wederkerig. Dit betekent dat de effecten niet afhangen van de waarnemer. Om dit uit te leggen wordt er van uit gegaan dat A en B allebei een identieke klok en een identieke meetlat hebben. In de voorafgaande redenatie bleek dat B de klok van A langzamer ziet lopen en dat de meetlat van A korter is geworden. Nu wordt het experiment herhaalt vanuit het gezichtspunt van A. Hij bepaalt de snelheid van zijn klok en de lengte van zijn meetlat als de trein stil staat. Als de trein gaat rijden voert A dezelfde metingen nogmaals uit. Hij merkt nu geen enkel verschil. Wel ziet hij B met grote snelheid voorbij schieten en gaat er vanuit dat B in beweging is terwijl hij stil staat A constateert nu dat de klok van B langzamer is gaan lopen en dat zijn meetlat korter is geworden. Er is geen enkel referentiepunt dat een voorkeursbehandeling heeft. Een stilstaande ether is daarom niet nodig en kan verworpen worden. Licht is een variabel elektrisch veld met loodrecht daarop een magnetisch veld. Het heeft daarom geen enkel medium nodig om zich voort te planten.

Om de wederkerigheid van relativistische effecten empirisch te bepalen kan gebruik worden gemaakt van een zogenaamd bellenvat. Een bellenvat is simpel gezegd een vat met water waarin een klein beetje zeepsop is opgelost. Zodra een deeltje door het vat wordt gestuurd laat dit een spoor van kleine belletjes achter. Een instabiel deeltje genereert slechts een heel kort bellenspoor voordat het vervalt. Het gemeten bellenspoor blijkt echter een stuk langer te zijn dan op grond van de vervaltijd zou worden verwacht. De verklaring voor deze afwijking is dat vanuit het gezichtspunt van het bellenvat de tijd van het deeltje langzamer verloopt. Daarom heeft het meer tijd voordat het vervalt en kan een langer bellenspoor maken. Voor het deeltje zelf is er geen verschil merkbaar in vervaltijd omdat het net zo goed kan dienen als referentiepunt als het vat. Vanuit het gezichtspunt van het deeltje is het juist het bellenvat dat beweegt. Het deeltje zal daarom merken dat het vat gekrompen is zodat het dieper kan doordringen.

De tweelingparadox

De wederkerigheid kan ook worden geïllustreerd door het voorbeeld van de zogenaamde tweelingparadox. Stel dat een eeneiige tweeling E en F besluiten tot een experiment. E blijft achter op Aarde en F stapt in een ruimteschip dat met grote snelheid weg vliegt. Als F een flinke afstand heeft afgelegd keert ze om en gaat terug. Ze merkt tot haar verbazing dat ze in de toekomst is beland en dat haar zus een stuk ouder is dan zij. Dit resultaat is op het eerste gezicht wat eigenaardig. Gezien door F is E juist in beweging. Normaal gesproken zouden beide bewegingen elkaar opheffen en zou F bij haar terugkomst even oud zijn als haar zus. F heeft in dit geval echter wel degelijk een aparte positie. Om haar snelheid te bereiken moet ze haar raket versnellen. Bij het keerpunt moet ze het weer vertragen om daarna weer te versnellen. Om veilig op de Aarde te landen moet ze opnieuw haar raket vertragen. E blijft veilig achter en voelt geen enkele versnelling. Als er sprake is van versnellingen geldt het wederkerigheidsprincipe niet meer. De versnelling van lichamen is het onderwerp van de algemene relativiteitstheorie.

4.6      De ruimte-tijd van Minkowski

In 1908 bewees de Duitse wiskundige Hermann Minkowski (1874 – 1909) dat de resultaten van de speciale relativiteitstheorie eenvoudig konden worden beschreven in een 4-dimensionaal coördinatenstelsel. De tijd fungeert dan als een aparte vierde dimensie. Voor een willekeurige gebeurtenis in de ruimte en de tijd, aangeduid met G, geldt dan :

G = x^2 + Y^2 + z^2 – c^2 t^2

Het universum waarin we leven is dus een 4-dimensionaal ruimte-tijd continuüm. Het feit dat we de tijd als een bijzondere dimensie ervaren is te wijten aan het feit dat het Heelal tegenwoordig sterk is afgekoeld. Vlak na de oerknal en in het inwendige van zwarte gaten is er geen enkel onderscheid tussen ruimte en tijd.

4.7      Rotatie

Tot slot nog een paar opmerkingen over rotaties. Op school wordt geleerd dat π wordt gedefinieerd als de verhouding tussen de omtrek en de diameter van een cirkel met een waarde van 3,141592579… In het geval van een draaiende schijf zal deze waarde veranderen. Het midden van de schijf staat stil maar de absolute snelheid neemt steeds toe naarmate verder van het middelpunt wordt gegaan. Een meetlat die op de schijf word gelegd zal tijdens de rotatie korter zijn dan bij het geval van de stilstaande schijf. De omtrek van de schijf wordt kleiner terwijl de diameter dezelfde waarde behoud. De waarde van π neemt dus af.  Hoe sneller de rotatie van de schijf hoe kleiner de waarde.

Natuurlijk heeft rotatie ook invloed op de snelheid van de tijd. Een snellere rotatie zorgt voor een trager verloop van de tijd.

4.8      Massa en energie

Eén van de meest frappante uitkomsten van de speciale relativiteitstheorie was het verband tussen massa en energie. Voor het bepalen van deze relatie wordt uitgegaan van het dopplereffect van licht.

Het dopplereffect is een natuurkundig verschijnsel dat optreedt als een golf een waarnemer met een bepaalde snelheid passeert. Dit kan een geluidsgolf, een watergolf of een lichtgolf zijn. Als bijvoorbeeld de fluit van een stoomtrein naar de waarnemer toe beweegt wordt de geluidsgolf als het ware in elkaar gedrukt. De frequentie wordt dus hoger en daarmee de toonhoogte. Als de fluitende trein zich verwijdert worden de geluidsgolven uitgerekt zodat de frequentie vermindert en de toon klinkt dan lager. Dezelfde redenatie geldt natuurlijk ook voor lichtgolven. Een lichtbron die naar een waarnemer toe beweegt heeft een verschuiving naar de blauwe kant en als het voorwerp van de waarnemer af beweegt verschuift de kleur juist naar de rode kant van het spectrum.

Stel nu dat een astronaut met een constante snelheid langs de Zon vliegt. Als hij de Zon nadert ziet hij dat het zonlicht blauwer wordt. Als de astronaut de Zon is gepasseerd zit hij dat het zonlicht een rodere kleur heeft. Hoe grote de snelheid van de astronaut is hoe duidelijker het kleurverschil. Het essentiële punt is dat blauw licht een grotere energie heeft dan rood licht. Er ontstaat dus door de beweging van de astronaut ten opzichte van de Zon een energietekort. Volgens de wet van behoud van energie moet dit tekort ergens mee opgevuld worden. Er is maar één manier om dit op te lossen:

De Zon moet massa verliezen.

Einstein heeft met behulp van de lorentztransformatie en de wet van behoud van impuls uitgerekend hoe groot dit massaverschil is en kwam uiteindelijk tot de volgende formule:

M = m0 / γ

Bij deze formule is M de totale massa van het bewegende voorwerp en m0 de rustmassa. Als beide lichamen in rust zijn, zullen beide massa’s gelijk zijn aan de rustmassa.   Als één van de lichamen gaat bewegen neemt zijn massa volgens deze formule toe. Als het de lichtsnelheid bereikt wordt het zelfs oneindig zwaar. Omdat het in zo’n geval oneindig veel bewegingsenergie zou moeten hebben is duidelijk dat de lichtsnelheid voor een voorwerp met een rustmassa de absolute limiet is. In het theoretische geval dat het toch de lichtsnelheid overschrijdt wordt zijn massa imaginair iets wat volstrekt onmogelijk is.

Voor het bovengenoemde energietekort geldt nu:

E = ( M – m0 ) c^2

Deze formule kan gezien worden als het verschil tussen de totale energie en de rustenergie. Hieruit volgt dat de totale energie is te beschrijven door de volgende formule:

E = m c^2

Uit deze wereldberoemde formule blijkt dat massa en energie feitelijk twee kanten van dezelfde medaille zijn. Met andere woorden, massa en energie zijn equivalent. Het is mogelijk om massa om te zetten in energie en vice versa. Door de grote waarde van c2 kan een geringe hoeveelheid massa omgezet worden in een enorme hoeveelheid energie. Dit is pijnlijk duidelijk geworden bij de atoombom op Hiroshima. Tijdens de ontploffing werd slechts een spliterwt aan massa vernietigd maar het was voldoende om een hele stad met de grond gelijk te maken.

De formule betekent ook dat elke vorm van energie een bepaalde hoeveelheid massa vertegenwoordigt. Een lichtstraal heeft dus een bepaalde massa, wat tot uitdrukking komt in een geringe stralingsdruk. Maar ook geldt dat bijvoorbeeld een gespannen veer iets zwaarder is dan een ontspannen veer. Een gesloten vat met warm water is iets zwaarder dan een vat met koud water. Als een steen opgetild wordt krijgt hij een grotere potentiële energie zodat de massa van de steen toe neemt en zo zijn er nog talloze voorbeelden.

Na de publicatie van het artikel over de equivalentie van massa en energie begon Einstein te werken aan een meer algemene theorie. Dit is het onderwerp voor het volgende hoofdstuk.

5        De algemene relativiteitstheorie

5.1      Inleiding

De speciale relativiteitstheorie beschreef alleen objecten die met constante snelheid in een rechte lijn bewegen. Als ook de versnelling van voorwerpen wordt beschouwd, wordt de situatie aanzienlijk gecompliceerder. Einstein had dan ook tien jaar nodig om tot zijn algemene relativiteitstheorie te komen. Al het denkwerk was de moeite waard. Einstein ontwikkelde een totaal andere visie op zwaartekracht en ontwikkelde een wiskundig model voor het gehele universum. Toen de theorie twee jaar later experimenteel werd bevestigd veranderde Einstein in een wetenschappelijke superster.

5.2      Zwaartekracht

In het vorige hoofdstuk stond dat de waarnemer A in de trein op geen enkele manier kon bepalen of de trein waarin hij zich bevond reedt of stil stond. Wat A wel zal merken is een versnelling of een vertraging van de trein. Als de trein op gang komt ondervind A een kracht naar achteren. Het is nu de vraag wat er gebeurt met zijn klok en zijn meetlat. Om dit uit te kunnen leggen worden de treinen even verlaten en vervangen door een afgesloten kamer.

Stel dat een waarnemer G zich ergens in het Universum in een afgesloten ruimte bevindt. In deze kamer zit een laser die een lichtstraal in horizontale richting laat schijnen. Daarnaast bevinden zich een aantal gewichtjes met verschillende massa in de kamer, evenals twee klokken die aan de boven- en onderkant zijn opgehangen. Omdat er in de lege ruimte geen referentiepunt is, heeft snelheid geen echte betekenis. Of we nu de Zon, de Aarde of bijvoorbeeld de Poolster kiezen als referentiepunt maakt voor de kamer geen enkel verschil. Hij kan tegelijk met een gigantische snelheid ten opzichte van de Aarde bewegen maar toch stil staan ten opzichte van de Zon. En natuurlijk kan de kamer weer een andere snelheid hebben ten opzichte van de Poolster. Er rust geen enkele kracht op de kamer en alles wat zich erin bevind is gewichtloos. De beide klokken lopen allebei exact even snel.

Nu gaat er een wezen met een constante kracht F aan de bovenkant van de kamer trekken. In de kamer voelt G dezelfde kracht, maar dan naar onderen gericht. Opeens is G niet meer gewichtloos en belandt op de onderkant van de kamer. Voor hem lijkt het alsof hij plotseling in een zwaartekrachtveld is beland. Ook alle in de kamer aanwezige voorwerpen zullen alle met precies dezelfde versnelling naar de bodem van de kamer bewegen, ongeacht hun massa. De laserstraal loopt nu niet meer precies horizontaal, maar beschrijft een kromme baan. In het voorgaande was duidelijk gemaakt dat gebeurtenissen zich afspelen in een vierdimensionale ruimte-tijd. De kromming van de laserstraal zorgt nu voor een kromming van het ruimte-tijd continuüm.

Door het dopplereffect is er bij een lichtstraal die van boven naar beneden straalt sprake van een roodverschuiving. Dit betekent dat het licht bij het plafond iets blauwer van kleur is en dat bij de bodem iets roder. Blauw licht heeft meer energie dan rood licht. Dit energieverschil heeft invloed op de snelheid van de klokken. De onderste klok heeft een rodere kleur en daarom ook minder energie dan die aan het plafond. Daarom zal deze klok langzamer gaan lopen.

Nu wordt de kamer op het oppervlak van de Aarde geplaatst. G voelt nu een kracht naar beneden, precies analoog aan de vorige situatie. G wordt versneld naar de vloer getrokken en ook alle voorwerpen vallen alle weer met dezelfde versnelling naar beneden. Dit is de verklaring van de valproef van Gallileo Galilei. De laserstraal vormt nu natuurlijk ook een gekromde baan. Zwaartekracht is dus geen echte kracht, maar een kromming in de ruimte-tijd. Er is geen sprake van een geheimzinnige kracht die met oneindige snelheid op een afstand werkt zoals bij de zwaartekrachttheorie van Newton. Op een voorwerp dat valt werkt juist geen enkele kracht. Vallen is de natuurlijke toestand van een lichaam. In feite valt iedereen en alles altijd met een versnelling van 9,81 m/s2 naar het middelpunt van de Aarde. Ze worden echter tegengehouden door de aardkorst. Door dit alles is de naam zwaartekracht eigenlijk een verkeerde benaming voor het fenomeen. Daarom zal vanaf nu alleen nog maar gesproken worden van de betere naam gravitatie.

Deze analogie geldt natuurlijk ook voor de twee klokken . De onderste klok zal ook in dit geval langzamer lopen dan de bovenste. Een gravitatieveld veroorzaakt dus een vertraging van de tijd. Een klok in een hoge toren loopt daarom iets sneller dan een klok op het aardoppervlak. In een toren is het effect nauwelijks meetbaar maar gps-satellieten ondervinden wel degelijk een aanzienlijk snellere tijd. Hun atoomklokken moeten dan ook regelmatig worden bijgesteld, anders kan de nauwkeurigheid van de navigatie oplopen tot honderden vierkante meters. De vertraging van de tijd in een gravitatieveld is ook de verklaring van het feit dat voorwerpen op Aarde naar beneden vallen. Als bijvoorbeeld een appel van een boom valt, dan gaat de tijd gedurende de val steeds trager. Hierdoor verliest de appel energie. Omdat de totale energie constant moet blijven ontstaat er een steeds een energieoverschot. De overgebleven energie wordt omgezet in bewegingsenergie. Het resultaat is dat de appel steeds sneller gaat vallen totdat hij de voet van de boom bereikt. Tijdens de val werkt er geen enkele kracht op de appel (afgezien van de luchtwrijving).

5.2.1       Tensoren

Voor het berekenen van de sterkte van de kromming van de ruimte-tijd is een aparte tak van wiskunde nodig, de door Bernhard Riemann (1826 – 1866) ontwikkelde tensorrekening. Simpel gezegd zijn tensoren een soort gekromde meerdimensionale ruimtes. Bij de tensorrekening gelden de regels van de normale Euclidische meetkunde niet meer. De som van alle hoeken van een driehoek hoeft niet meer 180° te zijn, en rechtte lijnen kunnen elkaar kruisen. Een voorbeeld van een tweedimensionale tensor is het aardoppervlak.

In tegenstelling tot wat veel mensen denken was Einstein geen hele goede wiskundige. De uiterst complexe berekeningen gingen hem ver boven de pet. Omdat computers in die tijd nog lang niet bestonden riep Einstein de hulp in van zijn goede vriend en wiskundige Marcel Grossmann (1878 – 1936). Na lang zwoegen kwam hij tot een algemene vergelijking die een veralgemenisering was van de vergelijking van Minkowski. Het resultaat is een bedrieglijk eenvoudige formule waar toch een enorme hoeveelheid zeer complexe wiskunde achter zit. Hij heet de Einsteinvergelijking en ziet er als volgt uit:

Gab =  ( 8 π G / c^4 ) * Tab 

staat bekent als de Einsteintensor. Deze waarde kan gezien worden als de mate van de kromming van de vierdimensionale ruimte-tijd. is de ruimte / impulstensor. Deze vertegenwoordigt de energiedichtheid van de ruimte. Omdat gravitatie de belangrijkste kracht in het Universum is, beschrijft deze formule de structuur van het volledige heelal.

5.3      Bewijzen voor de algemene relativiteitstheorie

Zoals elke theorie moest ook de algemene relativiteitstheorie door experimenten getoetst worden om te bewijzen dat hij de waarheid is.  Gedurende de 20ste en de 21ste eeuw zijn er zeer veel experimenten uitgevoerd om de juistheid van de theorie te bewijzen of te ontkrachten. Hieronder staan de eerste twee aanwijzingen voor de juistheid van de relativiteitstheorie.

De eerste gaat over de anomalie van de baan van Mercurius. De tweede gaat over de afbuiging van lichtstralen door het gravitatieveld van de Zon.

Al in de 19de eeuw was bekent dat de baan van de planeet Mercurius een afwijking van 48 boogseconden per eeuw afwijkt ten opzichte van de door de zwaartekrachtwet van Newton voorspelde baan. Astronomen stonden voor een raadsel. Ze dachten dat de afwijking veroorzaakt werd door een onbekende planeet met de naam Vulcanus, maar deze werd nooit gevonden. Het probleem werd opgelost toen Einstein zijn formules op de Mercuriusbaan losliet. Tot zijn eigen verbazing was de uitkomst van zijn berekeningen exact de voorspelde waarde. Einstein was door dit positieve resultaat een week van streek.

In 1917 vertrok een team van Britse wetenschappers naar Zuid-Afrika en Brazilië om een totale zonsverduistering bij te wonen en een aantal metingen te doen. Ze ontdekten dat enkele sterren die vlak achter de zon zaten een paar graden verschoven waren ten opzichte van hun normale positie . Door de kromming van de ruimte die veroorzaakt werd door de Zon kon deze afwijking worden verklaard. Na de publicatie van het resultaat werd Einstein opeens een enorme beroemdheid. Boze tongen beweerden echter dat de wetenschappers voor politieke doeleinden (het was immers vlak na de eerste wereldoorlog) hun meetresultaten dusdanig omrekenden dat het resultaat voldeed aan de Duitse relativiteitstheorie. Nauwkeurige metingen door radioastronomen aan zogenaamde quasars (sterke bronnen van radiostralen in het Heelal) leverde nauwkeurigere resultaten. Ze ontdekten dat de quasars relatief verschoven als ze vlak bij de Zon stonden. Hun straling werd dus afgebogen door de gravitatie van de Zon, precies volgens de voorspelling van de algemene relativiteitstheorie. Dit was de definitieve doodsteek voor de tot dan toe gangbare theorie van Newton.

5.4      Zwarte gaten

Misschien wel de vreemdste uitkomst van de algemene relativiteitstheorie is het bestaan van zwarte gaten. Deze bijzondere hemelverschijnselen ontstaan in het eindstadium van zeer zware sterren. Aan het einde van hun leven ontploffen deze sterren en slingeren een enorme hoeveelheid materie en straling het Universum in. Dit wordt een supernova genoemd. Door de reactiekracht van deze explosie wordt een deel van de sterrenmaterie met een gigantische druk samengeperst. De druk wordt zo hevig dat de elektronen in de protonen worden geperst. De protonen veranderen dan in neutronen. Er ontstaat dan een zogenaamde neutronenster. Een dergelijk object heeft een enorme dichtheid (een theelepeltje neutronenster weegt evenveel als 10 flinke vrachtwagens. Daarnaast kunnen neutronensterren gigantisch grote magnetische velden hebben van honderden Tesla’s. Ter vergelijking, de supergeleidende magneten die gebruikt worden bij MRI-scanners is ongeveer 1,5 Tesla.

Als de inwendige druk een zekere drempelwaarde bereikt worden zelfs de kernkrachten samengeduwd. Het ontstane lichaam heeft een dermate grote soortelijke massa dat het een enorme kromming in de ruimte-tijd veroorzaakt. Deze kromming kan zo groot worden dat hij als het ware in zijn eigen staart bijt. Het licht kan in dat geval niet meer ontsnappen en er wordt een zwart gat gevormd. Omdat geen enkele massa de lichtsnelheid kan passeren kan niets uit het zwarte gat ontsnappen. De bol om het zwarte gat waarbij het licht (en dus alle materie) nog net kan ontsnappen wordt de waarnemingshorizon genoemd. Wat er onder deze denkbeeldige bol gebeurt is op geen enkele manier waar te nemen of te beschrijven. Zo ontstaat een singulariteit, een punt in de ruimte waar de normale natuurwetten niet gelden. Dit betekent in de praktijk dat een lichaam dat een zwart gat benadert steeds een beetje van zijn informatie verliest totdat het voorgoed verdwijnt. Een onfortuinlijke astronaut die in een zwart gat valt zal daarom merken dat alle processen om hem heen steeds sneller verlopen. Zelf merkt hij geen enkele tijdsvertraging. Vlak bij de waarnemingshorizon zal zijn raket en hijzelf uit elkaar getrokken worden als een spaghettisliert. Al zijn moleculen worden uit elkaar getrokken en daarna zelfs zijn atomen. Na het passeren van de waarnemingshorizon is de materie van de astronaut en zijn raket voorgoed verloren.

5.4.1       De Penrose machine

Er is een fundamenteel verschil tussen stilstaande en roterende zwarte gaten. In het laatste geval wordt de ruimte-tijd vlak buiten het gat met de rotatierichting meegetrokken. De beroemde wiskundige en relativist Roger Penrose (1931) verzon een machine die met behulp van een roterend zwart gat zowel het afval- als het energieprobleem zou kunnen oplossen. De machine bevat emmers die gevuld worden met afval. De emmers worden met behulp van een vliegwiel naar de rand van het zwarte gat gebracht. Daar aangekomen legen ze hun emmers en het afval verdwijnt voorgoed in het gat. Door een reactiekracht wordt de lege emmer omhoog geslingerd. Het vliegwiel vertraagt de emmer weer zodat het proces opnieuw kan beginnen. Als er een turbine wordt aangesloten op het vliegwiel kan de bewegingsenergie hiervan worden omgezet in elektrische energie. Helaas bevinden zwarte gaten zich op enorme afstand hier vandaan dus is deze handige machine praktisch niet uitvoerbaar. We zullen de problemen op Aarde zelf moeten oplossen.

5.4.2       Hawking straling

De wereldberoemde natuurkundige Stephen Hawking (1942) ontdekte bij zijn onderzoek aan zwarte gaten iets opmerkelijks: ze zijn niet zwart!

De gedachtegang van Hawking ging als volgt:

In een absoluut vacuüm zou de energie volgens klassieke opvattingen nul moeten zijn. Volgens de wetten van de kwantummechanica is de afwezigheid van energie echter niet mogelijk. Er moet altijd een restenergie over blijven. Volgens de equivalentie van massa en energie volgens de formule E=mc2, kan deze restenergie omgezet worden in materiedeeltjes. Daarom verschijnen er in de lege ruimte met enige regelmaat een deeltje en een antideeltje die elkaar vrijwel onmiddellijk weer vernietigen (een antideeltje is precies identiek aan een gewoon deeltje maar zijn lading is precies tegenovergesteld). Stel nu dat de deeltjes precies op de waarnemingshorizon van een zwart gat verschijnen. Het ene deeltje valt in het zwarte gat maar het andere kan nog net ontsnappen. Er verdwijnt nu netto energie die opgevuld moet worden. De enige bruikbare energiebron is het zwarte gat zelf. Het gat verliest door dit effect steeds meer energie en uiteindelijk kan het zelfs helemaal verdwijnen. Hoe kleiner het zwarte gat hoe sneller het zal verdampen. Voor een buitenstaander lijkt het of het zwarte gat straling uitzend. Hoewel Stephen Hawking zelf niet erg blij is met de naam staat deze straling bekend als Hawking straling.

5.4.3       Gravitatiegolven

Een belangrijke voorspelling van de relativiteitstheorie is het bestaan van gravitatiegolven. Dit zijn rimpelingen in de ruimte-tijd die veroorzaakt worden door grote kosmische gebeurtenissen zoals de ontploffing van zware sterren. De ruimte-tijd wordt dan als het ware ineengeschoven. Op die manier ontstaat een golf die zich naar alle kanten uitstrekt. De situatie kan vergeleken worden met de golven die ontstaan als een steen in het water wordt gegooid.

Ook twee sterren, neutronensterren of zwarte gaten die om elkaar cirkelen veroorzaken gravitatiegolven. Hierdoor verliest het systeem potentiële energie zodat de twee lichamen dichter bij elkaar komen. Hierdoor gaan ze sneller rond elkaar draaien zodat ze nog veel meer gravitatiegolven uitzenden. Opnieuw komen de lichamen dichter bij elkaar waardoor ze nog sneller gaan draaien zodat de intensiteit van de gravitatiegolven nog meer toe neemt. Er ontstaat op die manier een positieve terugkoppeling die eindigt als de lichamen in een enorme uitbarsting van gravitatiegolven elkaar raken en versmelten tot één groot lichaam. Vooral als de beide lichamen bestaan uit zwarte gaten raakt de ruimte-tijd tijdens de botsing compleet ontwricht. Gelukkig bevindt de Aarde zich op veilige afstand van roterende zwarte gaten. De gevormde gravitatiegolven zijn bij de aankomst op Aarde dusdanig uitgedoofd dat ze slechts met uiterst nauwkeurige instrumenten te detecteren zijn. Daarom duurde het tot 14 september 2015 voordat na een decennialange zoektocht eindelijk een gravitatiegolf werd gedetecteerd en op 11 februari 2016 werd gepubliceerd.

5.5      Het universum

5.5.1       De gravitatie rond hemellichamen

Een eenvoudig tweedimensionaal model voor het Heelal is een strakgespannen stuk rubber. Op het rubber worden nu her en der ronde gewichten gelegd. In de omgeving van deze gewichten wordt een kuil gevormd. Dit stelt de kromming van de ruimte voor zoals voorspeld door de algemene relativiteitstheorie. Als een knikker naar één van de kuilen wordt gebracht zal hij in een rechte weg willen bewegen. Een rechte weg   kost immers geen energie. Er kunnen nu drie dingen gebeuren, afhankelijk van de snelheid en de richting (de impuls) van de knikker en van de diepte van de kuil.

  1. Als de knikker met lage snelheid recht op het gewicht beweegt zal hij loodrecht op het gewicht botsen;
  2. Als de knikker met een gemiddelde snelheid vlak langs het gewicht beweegt wordt hij gevangen in de kuil. De knikker begint dan een ellipsvormige baan te beschrijven rond het gewicht.
  3. Als de snelheid van de knikker erg hoog is verandert zijn snelheid en zijn richting waarna hij voorgoed uit de invloedssfeer van het gewicht verdwijnt.

Natuurlijk heeft het werkelijke Heelal drie ruimtelijke dimensies en een tijdsdimensie. Dit is echter met geen mogelijkheid voor te stellen. Omdat in een gravitatieveld de tijd langzamer verloopt zijn de hierboven beschreven effecten eigenlijk ook twee keer zo groot.

5.5.2       Geschiedenis en toekomst van het Heelal

Uit de formules voor de ruimte-tijdkromming bleek dat het Universum niet in statisch evenwicht kan zijn. In de praktijk betekent dit dat het Heelal moet uitdijen of inkrimpen. Einstein geloofde echter stellig in een simpel en goed gedefinieerd Heelal. Hij kon een dergelijke dynamiek niet accepteren en voegde een kosmologische constante in zijn vergelijkingen toe. Deze constante zou een dusdanige waarde hebben dat het de dynamiek van het Heelal precies zou opheffen. Edwin Hubble (1889 – 1953) ontdekte door gebruik te maken van het dopplereffect dat het Heelal wel degelijk steeds groter wordt . Hij ontdekte dat als sterrenstelsels zich van de Aarde af bewegen ze iets roder worden. Hij mat deze roodverschuiving aan een groot aantal ver verwijderde sterrenstelsels. Hij concludeerde dat hoe verder een sterrenstelsel verwijderd is hoe sterker de roodverschuiving is. Dit was het onomstotelijke bewijs dat het Heelal steeds groter wordt. Toen Einstein dit resultaat hoorde noemde hij de kosmologische constante zijn grootste blunder ooit. De ironie wil dat later nauwkeurige metingen hebben aangetoond dat het universum veel sneller uitdijt dan volgens de aanwezige hoeveelheid materie zou worden verwacht. Voor de verklaring voor deze afwijking werd de kosmologische constante weer van stal gehaald maar dan op een andere manier toegepast. Einstein heeft dit helaas nooit geweten. Hij zou het waarschijnlijk bijzonder vermakelijk hebben gevonden.

Om de uitdijing van het Heelal te beschrijven kan het Universum in twee dimensies beschouwd worden, als een ballon waarop een groot aantal stippen zijn aangebracht. Deze stippen stellen de sterrenstelsels voor. Als de ballon wordt opgeblazen is duidelijk te zien dat de stippen allemaal uit elkaar gaan en dat verder verwijderde stippen een grotere snelheid hebben ten opzichte van elke willekeurige andere stip. De stippen zelf worden nauwelijks groter. Het is alleen de ruimte zelf die groter wordt. Vanzelfsprekend heeft de ballon ooit een beginpunt gehad . De ballon was in dit beginpunt oneindig klein. Het echte , vierdimensionale Universum moet daarom ook ooit een beginpunt hebben gehad. Astronomen hebben berekent dat dit punt ongeveer 14,2 miljard jaar geleden was. Dit is het tijdstip waarop het Heelal begon te bestaan. Op dat tijdstip is de ruimte en de tijd begonnen. Voor dit tijdstip was er niets, zelfs geen tijd. Deze theorie staat bekent als de oerknaltheorie. De benaming oerknal is enigszins misleidend. Omdat in de lege ruimte geluid zich niet kan voortplanten heerste er destijds een doodse stilte. De naam is cynisch bedoeld en is gegeven door de Britse astronoom Fred Hoyle (1915 – 2001) die het in het begin totaal niet eens was met de theorie. Het bewijs voor het bestaan van de oerknal werd per ongeluk verkregen door de jonge Amerikaanse natuurkundigen Allan Penzias (1933) en Robbert Wilson (1937). Tijdens hun experimenten met radiogolven ontdekten ze een hardnekkige ruis met een golflengte van 1073 nanometer en een temperatuur van 3 K (-270°C). De mannen wisten niet wat er aan de hand was maar een meer ervaren natuurkundige interpreteerde de straling als een echo van de oerknal. De volstrekt toevallige vondst leverden ze de Nobelprijs voor natuurkunde op. Hoe het Heelal zich in de toekomst zal ontwikkelen is niet helemaal duidelijk. Het is mogelijk dat het eeuwig door blijft groeien. De energiedichtheid zal dan steeds verder afnemen en na zeer lange tijd blijven er alleen nog hier en daar wat laag energetische fotonen over. Het is daarentegen ook mogelijk dat de groei op een gegeven moment tot stilstand komt en het Heelal gaat krimpen totdat er een soort omgekeerde oerknal, de eindkrach, ontstaat. Een derde mogelijkheid is dat de groei van de ruimte-tijd zo snel gaat dat hij uit elkaar scheurt. Dit zal alles wat zich in het Universum bevindt vernietigen. Wat het uiteindelijke lot van ons Heelal is zal de tijd leren. De mensheid zal het hoogst waarschijnlijk niet meemaken.

Het oppervlak van de kosmische ballon is uiteraard gekromd. Als een platlander die op het oppervlak van de ballon leeft een reis gaat maken en in een rechte lijn beweegt komt hij na verloop van tijd weer bij zijn beginpunt aan maar dan aan de andere kant. Ditzelfde moet natuurlijk ook gelden voor het reële Heelal. Als een astronaut in een raket stapt en in een willekeurige richting van de Aarde vertrekt zal hij na zeer lange tijd merken dat hij weer bij de Aarde is beland. De astronaut heeft nergens een grens kunnen ontdekken. De conclusie is dat het Universum eindig maar onbegrensd is.

6        Albert Einstein

6.1      Inleiding

De meeste mensen kennen Albert Einstein als een excentrieke grijsaard met wilde haren die de meest onbegrijpelijke en geniale theorieën uit zijn mouw schudt. Dit beeld stamt uit zijn tijd in Princeton. Toen had hij zijn beste tijd echter al lang achter de rug. Veruit zijn beste jaar was zijn wonderjaar 1905 toen hij 26 jaar oud was. Hij zag er destijds uit als een markante jongeman met een hoog voorhoofd en fijne gelaatstrekken. Zijn Joodse afkomst was duidelijk te zien maar zeker niet overheersend. In dat jaar publiceerde hij 4 artikelen die stuk voor stuk eigenlijk een nobelprijs waard waren. Hij wist te bewijzen dat materie inderdaad uit atomen bestaat en hij leverde het bewijs dat licht is opgebouwd uit fotonen. Uiteindelijk werd de prijs voor dit laatste onderzoek toegekend.       In dit jaar postuleerde hij ook zijn speciale relativiteitstheorie en het artikel over de massa-energie equivalentie.

6.2      Levensloop

Albert Einstein is geboren op 15 maart 1879 in de Duitse stad Ulm. Zijn ouders waren liberale joden. Zijn vader was Hermann Einstein en zijn moeder heette Pauline Koch. Hermann was verkoper van elektrische apparatuur. De fascinatie voor natuurkunde begon voor de jonge Einstein toen hij voor zijn verjaardag een kompas kreeg. Hij kon urenlang gefascineerd zitten kijken naar de naald die nooit van richting veranderde. Toch was hij op de middelbare school een bijzonder zwakke leerling. Alleen wis- en natuurkunde konden hem boeien. Aardrijkskunde en geschiedenis vond hij tijdverspilling en vreemde talen vond hij een ballast voor het geheugen. Hij maakte liever wandelingen met zijn vader of speelde viool. Een docent verzuchtte daarom: “Einstein, Einstein, wat moet er van jou ooit worden”. Hij zakte daarom vanwege zijn gebrekkige talenkennis voor zijn toelatingsexamen voor de polytechnische school. Einstein wilde echter per sé verder studeren en volgde bijspijkerlessen in Zwitserland. Hier bloeide hij helemaal op, onder andere door de organisatie van vele muziekavonden. Het bedrijf van zijn vader ging rond die tijd failliet en het gezin kreeg onderdak bij familie in Italië. Albert bleef in eerste instantie achter om zijn lessen af te maken, maar een paar maanden later reisde hij ook naar Italië. Hij was verrukt door de ongedwongenheid van de Italianen en de prachtige architectuur en kunstwerken. Einstein was een overtuigd pacifist daarom was de vrije cultuur van Italië een verademing ten opzichte van het militaristische Duitsland.

Einstein had door zijn bijlessen nu voldoende talenkennis en voelde zich nu in staat om opnieuw toelatingsexamen te doen voor de polytechnische school. Hij werd toegelaten en verliet de opleiding een paar jaar later met uitzonderlijk goede cijfers. Hoewel hij opgeleid was voor assistent eerste klas kreeg Einstein maar met moeite een baan. Hij begon zijn loopbaan als docent van dezelfde polytechnische school. Later kreeg hij een kantoorbaan als assistent derde klas bij het patentbureau in Bern. Deze baan lag onder zijn niveau omdat hij was opgeleid als assistent eerste klas. Waarschijnlijk speelde zijn Joodse afkomst hem parten. Zijn taak was om uitvindingen te controleren op fysische haalbaarheid. Einstein heeft in die tijd zelf ook enkele uitvindingen gedaan waaronder een soort koelkast. Deze hadden geen commercieel succes. Zijn koelkast wordt tegenwoordig slechts sporadisch in de industrie gebruikt. Einstein had door zijn eenvoudige baan de tijd om de grondslagen te leggen voor zijn belangrijkste theorieën. Nu hij werk had kon hij ook trouwen met zijn oude klasgenote Mileva Mari. In 1902 kregen ze een dochter met de naam Lieserl. Helaas is zij jong gestorven. Een paar jaar daarna werd hun eerste zoon Edward geboren. Ook hij is niet oud geworden maar hun jongste zoon Eduard kreeg later een glansrijke carrière als werktuigbouwkundig ingenieur.

In 1914 verhuisde Einstein naar Berlijn. Zijn relatie met Mileva verslechterde en ze scheidden al snel. Mileva bleef met Eduard achter in Zwitserland. Twee jaar later hertrouwde Einstein met Elza, een lief maar niet al te snugger meisje. Ze hield zich erg op de achtergrond bij haar beroemde geleerde en steunde hem door zijn dagelijkse beslommeringen te verminderen. Vooral na de publicatie van zijn algemene relativiteitstheorie in 1915 en het spectaculaire bewijs hiervan maakte van Einstein een wetenschappelijke superster. Hij gaf een groot aantal gastcolleges in Parijs en werd buitengewoon hoogleraar in Leiden. Hier werkte hij samen met Kamerlingh Onnes en Hendrik Lorentz die hij erg bewonderde. Einstein beschouwde Lorentz als een wetenschappelijke vaderfiguur. In 1921 krijgt Einstein eindelijk de Nobelprijs toegekend. Niet voor zijn relativiteitstheorie maar voor zijn verklaring van het foto-elektrisch effect. Einstein had een haat/liefde verhouding met de kwantummechanica. Met zijn verklaring van het foto-elektrisch effect stond hij wel aan de wieg van deze theorie. Daarnaast heeft hij resultaten uit de kwantummechanica onder andere gebruikt voor de afleiding voor een formule die de temperatuur afhankelijkheid van de warmtecapaciteit van vaste stoffen beschrijft. Desalniettemin kon hij enkele uitvloeisels van de kwantummechanica zoals onzekerheid en superpositie niet accepteren. Einstein geloofde heilig in een eenvoudig en wel gedefinieerd Heelal. De fundamentele onzekerheden en oneindig snelle communicatie van de kwantumtheorie waren voor hem volstrekt onacceptabel. Zijn afkeer kwam tot een climax tijdens de Solvayconferentie in Denemarken van 1930. Daar voerde hij verhitte discussies met de Deense fysicus Niels Bohr. Einstein verzon de meest ingenieuze gedachtenexperimenten om aan te tonen dat de kwantummechanica niet kon kloppen. Bohr wist elke keer met grote moeite alle problemen op te lossen. Einstein bleef echter bij zijn standpunt en verkondigde dat God niet dobbelt met de wereld (Wat betreft religie was Einstein overigens eerder agnostisch dan theïstisch). Bohr antwoordde daarop dat Einstein moest ophouden te vertellen hoe God de wereld heeft geschapen. Ondanks hun meningsverschillen konden de twee geniale heren op persoonlijk vlak goed met elkaar overweg.

Toen in 1933 Adolf Hitler aan de macht kwam vluchtte Einstein naar de Verenigde staten waar hij met open armen ontvangen werd. Hij kwam terecht in het rustige universiteitsstadje Princeton. Hier poogde hij een theorie van alles op te stellen. Al zijn pogingen waren echter vruchteloos omdat hij geen rekening wilde houden met de kwantummechanica. Hij begon zich in die tijd steeds meer te mengen in de wereldpolitiek. Als pacifist en zionist vond hij naties achterhaald en gevaarlijk. Hij was daarom erg betrokken bij de oprichting van de Volkerenbond, de voorloper van de Verenigde Naties. Hij vreesde dat Duitsland bezig was met de ontwikkeling van de atoombom. Daarom ondertekende hij een brief van Enrico Fermi aan president Roosevelt. Hierin werd hij gewezen op de mogelijkheden die de Bom zou bieden en het gevaar van een Duitse atoombom. De president stemde toe en het Manhattanproject ging van start. Na een aantal jaren hard werk (waar Einstein overigens niet aan deel nam) was de bom een feit. Toen Einstein hoorde wat er met Hiroshima en Nagasaki was gebeurd raakte hem dat enorm. Vanaf die dag zette hij zich sterk in voor de ontwapening van de Wereld. Hij werd gevraagd of hij de eerste president van het nieuw land Israël wilde worden maar hij bedankte voor de eer. Hij zei dat een presidentschap tijdelijk is maar dat formules voor de eeuwigheid zijn. Op 18 april 1955 overleed Albert Einstein aan een galblaasontsteking.

 

Literatuur

Bryson, B. Een kleine geschiedenis van bijna alles. Uitgeverij Atlas 2006

Calder, N. Einstein en het Heelal. Bosch en Keuning 1979

Coleman, J. Relativiteitstheorie voor de leek. Het Spectrum 1959

Crump, T. A brief history of science. Robinson 2002

Darling, D. Zwaartekracht. Veen magazines 2006

Einstein, A. Mijn theorie. Het Spectrum 1997

Hawking, S. Einsteins droom. Ooievaar Amsterdam 1997

Hawking, S. Het heelal. Bert Bakker 1998

Heideland, O. et al. Einstein. Cop 1975

Klukhuhn, A. De geschiedenis van het denken. Bakker 2007

Vegter, J. Natuurkunde. Delta Press BV 1990

www.wikipedia.nl